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Título: Curvas planas de largura constante : Teorema de Barbier e a função sombra.
Autor(es): Criste, Marília Gomes
Orientador(es): Souza, Gil Fidelix de
Ferreira, Geraldo César Gonçalves
Palavras-chave: Curvas
Triângulo
Geometria diferencial
Sombras e sombreados
Data do documento: 2018
Membros da banca: Souza, Gil Fidelix de
Ferreira, Geraldo César Gonçalves
Veloso, Marcelo Oliveira
Martins, Eder Marinho
Referência: CRISTE, Marília Gomes. Curvas planas de largura constante : Teorema de Barbier e a função sombra. 2018. 77 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2018.
Resumo: Já imaginou uma bicicleta cujas rodas não tivessem o formato de um círculo? Neste trabalho estudaremos os conjuntos convexos, mais especificamente conjuntos que possuem a mesma característica do círculo, largura constante. Mostraremos que existem diversas curvas que podem substituir o círculo em algumas situações, por exemplo, em uma roda de bicicleta. Os conjuntos de largura constante estão presentes em várias áreas da engenharia, na arquitetura e no designer de diversos produtos. O Triângulo de Reuleuax é o mais comum desses, um exemplo de sua aplicação é uma broca que gera um “furo quadrado”. Ao longo do trabalho demonstraremos, de duas formas diferentes, o Teorema de Barbier o qual afirma que todo conjunto de largura constante m tem perímetro pm, e veremos que a área destes conjuntos será sempre maior que a do Triângulo de Reuleaux e menor que a do círculo. Buscamos conhecer o formato dos conjuntos convexos através da sombra gerada por eles. A sombra, aqui considerada, é gerada por um foco de luz, distante o suficiente para que os raios de luz viajem na mesma direção. Baseamo-nos nas ideias de Charles L. Epstein [10] sobre reconstrução de imagens médicas, como no raio X, que nada mais é do que a reconstrução de um objeto através da sombra gerada por ele. O objetivo principal deste trabalho é chegar à função sombra e verificar se podemos utilizá-la para reconstruir o objeto que a gerou. Algo nada intuitivo é mostrar que curvas de largura constante determinam funções sombra diferentes, mas que na reconstrução não determinam exatamente a mesma curva de origem. Para isso conceitos importantes da Geometria Diferencial, como a parametrização e a curvatura de curvas planas, serviram de base para os estudos deste trabalho.
Resumo em outra língua: Have you ever imagined a bicycle whose wheels did not have the shape of a circle? In this work we will study convex sets, more specifically sets that have the same characteristic of the circle, constant width. We will show that there are several curves that can replace the circle in some situations, for example in a bicycle wheel. Constant width sets are present in many areas of engineering, architecture and the designer of various products. The Reuleuax Triangle is the most common of them, an example of its application is a drill that generates a "square hole". Throughout the paper we will demonstrate, in two different ways, Barbier’s Theorem, which states that every set of constant width m has perimeter pm, and we will see that among these sets, the circle is the one with the largest area and the triangle of Reuleaux has the smallest area. We wish to know the shape of convex sets through shadow generated by them. The shadow, here considered, is generated by a spotlight, distant enough that the rays of light travel in the same direction. We are based on the ideas of Charles L. Epstein [10] about reconstruction of medical images, as in X-ray, which is nothing more than the reconstruction of an object through the shadow generated by it. The main goal of this work is to reach the shadow function and verify if we can use it to reconstruct the object that generates it. Something not intuitive is to show that curves of constant width determine different shadow functions, but that in the reconstruction do not determine exactly the same curve of origin. For this, important concepts of Differential Geometry, such as parameterization and curvature of flat curves, served as a basis for the studies of this work.
Descrição: Programa de Pós-Graduação em Matemática. Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto.
URI: http://www.repositorio.ufop.br/handle/123456789/10460
Licença: Autorização concedida ao Repositório Institucional da UFOP pelo(a) autor(a) em 25/10/2018 com as seguintes condições: disponível sob Licença Creative Commons 4.0 que permite copiar, distribuir e transmitir o trabalho desde que sejam citados o autor e o licenciante. Não permite o uso para fins comerciais nem a adaptação.
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